Estudio de modelos para la identificación de cavidades mediante la tomografía de impedancia eléctrica

Abstract

En esta tesis se proponen y estudian tres modelos para la reconstrucción de cavidades en el interior de un cuerpo, bajo la técnica de la Tomografía de Impedancia Eléctrica (TIE). Esta técnica brinda el marco físico y conceptual del problema estacionario de la difusión de la corriente eléctrica en un medio conductor. Conociendo los valores de corriente y la distribución del potencial electrostático medidos en el contorno del cuerpo, su estructura interna se determina contrastando esta información con los valores sintéticos calculados sobre los mismos puntos. Basados en la hipótesis de unicidad de valores de conductividad para cada material, el problema se resume en encontrar la función de conductividad para inferir con ella la estructura interna del cuerpo. Cada modelo propuesto consiste en la adopción de un funcional de fidelidad de valores, que es una medida de error entre los datos medidos experimentalmente y los calculados numéricamente, al que se le adiciona un término regularizante para lidiar con el mal condicionamiento de este problema inverso. Para el funcional de fidelidad se proponen dos opciones: uno definido en el contorno del cuerpo y el otro definido en todo su dominio. Para el término regularizante se proponen también dos opciones: un operador clásico sobre la variable de conductividad y otro que penaliza el perímetro de los defectos incógnitas. Para el tratamiento numérico posterior este ́ultimo es aproximado a su vez, en el sentido de la convergencia, a dos funcionales: uno elíptico y otro de área. Para los modelos que consideran al funcional de área como término regularizante se aplican metodologías basadas en la Derivada Topológica, mientras que para el resto se emplean metodologías clásicas de tipo gradiente. La obtención de Derivadas Topológicas no constituye un cálculo trivial, por lo que se aportan sus expresiones analíticas de hasta orden dos, conseguidas mediante dos métodos diferentes. Finalmente, se plantea una metodología de comparación entre los métodos propuestos considerando dos tipos de análisis: uno desagregado que tiene en cuenta parámetros geométricos y visuales de las cavidades encontradas, y otro directo que emplea un criterio de distancia entre la cavidad conseguida y la objetivo. Para cada modelo se desarrollan los algoritmos de reconstrucción y se presentan numerosos experimentos numéricos a fin de mostrar las bondades de cada método. Esta tesis aborda problemas de índole académico y contribuye tanto en el desarrollo de metodologías modernas para resolver el problema de identificación de dominios, como en el planteo de aspectos prácticos para la utilización de la TIE como herramienta de evaluación no destructiva.